---

"Na trećoj smo godini u Tehničkoj školi u Lajkovcu, odsek Elektrotehnike, profil elektrotehničar računara. Želimo da se zahvalimo svima koji su omogućili naše školovanje. Očekujemo dobre rezultate na kraju ove školske godine."

-- Odeljenje III-5

( Preuzeto iz knjige Miodraga Petkovića Zanimljivi svet matematike. )

S vremena na vreme pojavljuju se u svetu osobe koje poseduju neverovatnu sposobnost za izvođenje računskih operacija napamet, bez korišćenja olovke, papira i drugih pomoćnih sredstava.  Obično su to četiri osnovne računske operacije, zatim korenovanje i stepenovanje. Obzirom da se računanje izvodi napamet, "iz glave", ono se najčeće zove mentalno računanje, a odgovarajuća aritmetika mentalna aritmetika. Za samo nekoliko sekundi ovi "živi kalkula­tori" daju odgovore za koje je matematičarima potrebno znatno duže vreme i to uz pomoć olovke i papira. Njihova sposobnost nije ograničena samo na mentalnu aritmetiku. Neki od njih uspevali su daju odgovore i na mnogo teža pitanja radeći, na primer, sa faktorima brojeva, složenim interesnim računom, kalendarima, rešenjima jednačina, itd. U većini slučajeva ovi ljudi bili su slabo obrazovani, čak nepismeni, i obično su u svom radu koristili sopstvene original­ne metode. Njihova izvanredna moć računanja napamet u tolikoj meri je im­presionirala posmatrače da su neki od njih pomišljali da oni imaju natprirodnu moć. Ipak, nema osnove za takvo tvrđenje. Osobe sa odličnom memorijom i prirodnom nadarenošću za aritmetiku, posle stalnog i intenzivnog vežbanja mogu postići odlične rezultate u mentalnoj aritmetici.

 U ovom prikazu biće reči o nekoliko samoukuh "živih kalkulatora" , koji su u vremenu u kome su živeli istovremeno oduševljavali i zbunjivali svoje savre­menike. Jedan od najranije registrovanih fenomena u mentalnoj aritmetici bio je Džededaja Bakston, rođen oko 1707. u Elmtonu (Engleska). Mada je bio sin učitelja, njegovo obrazovanje bilo je zanemarljivo; na primer, on nikada nije naučio da piše. Izuzev njegove izvanredne sposobnosti da operiše sa velikim brojevima, ostale duhovne sposobnosti bile su mu na niskom nivou: bio je neambiciozan i ceo život je proveo kao radnik na farmi. Umro je 1772. godine. Bakstonovo druženje sa brojevima odvijalo se preko materijalnih objekata , i njihove veličine. Čim bi pronašao predmet svog zanimanja on bi počeo da računa koliko mnogo inča ima u posmatranom objektu, ako se radilo o dužini, ili koliko je njegova zapremina u kubnih inčima. Ako se radilo o periodu vre­mena, on je izračunavao koliki broj minuta i sekundi on iznosi. Imao je sposob­nost da samo pogledom prilično precizno proceni površinu njive nepravilnog oblika. U crkvi, on je jedino razmišljao o broju reči u sveštenikovoj propovedi. Nema sumnje da se, zahvaljujući ovim svakodnevnim vežbama, njegova moć u ovim "disiciplinama" neprestano uvećavala. Između mnogo pitanja koja su mu bila postavljeha kada je bio veoma mlad, ostala su zabeležena sledeća: Koliko jutara ima u pravougaonom polju dužine 351 jardi i širine 261 jardi? ( Jutro je mera za površinu i ima 4840 kvadratnih jardi, 1 jard (yard)=0.9144 m. Odgovor je dat za 11 minuta.

Koliko kubnih jardi zemlje treba iskopati da bi se napravio ribnjak dug 426 jardi, širok 263 stopa (1 jard=3 stope) i 2 i 1/2  stopa dubok?, odgovor dat za 15 minuta. Kasnije je Bakston odgovarao na mnogo teža pitanja. Godine 1751. on je izračunao koliko kubnih inča ima u kamenom bloku oblika kvadra dimenzije 23 145 789 jardi x 5 642 732 jardi x 54 965 jardi; koliko pšeničnih zrna je potrebno da se napuni prostorija oblika kocke čija je zapremina 202680000360 kubnih milja. Samo u vrlo retkim slučajevima Bakston je bio u stanju da objasni svoje metode rada, ali se ipak pouzdano zna da su ovi metodi bili veoma glomazni.

Zira Colborn, rođen 1804. u Kabotu (SAD), bio je sin farmera. Pre nego što je navršio šest godina, on je pokazao izvanrednu moć u mentalnoj aritmetici na svojoj turneji po Americi. Dve godine kasnije on je u Engleskoj ispitivan od kompetentnih posmatrača. Colborn je u trenutku mogao da saopšti proizvod dva četvorocifrena broja. Za nekoliko sekundi on je odgovorio da je 16. stepen broja 8 jednak 281474976 710656. Colborn je nalazio 10. stepen brojeva 2,3,...,9 takvom brzinom da je ispitivač morao da ga zamoli da ponovi rezultate kako bi ih zapisao. Colborn se naročito isticao u rastavljanju velikih brojeva na činioce. Na primer, vrlo brzo je odgovorio da su 941 i 263 činioci broja 247 483, a da broj 171 395 ima činioce 5, 7,59 i 83. Pri množenju brojeva Colborn je  rado koristio faktorizaciju brojeva. Jednom prilikom, kada je zamoljen da nađe proizvod brojeva 21 734 i 543, on je odmah saopštio rezultat 11 801 562 objašnjavajući da je do odgovora došao množenjem brojeva 65202 (= 21 734 x 3) i 181 (= 543 : 3).

Colbornov savremenik, samouki Džordž Bider, takođe je posedovao iz­vanrednu sposobnost za računanje napamet. On je jedan od najinteresantnijih "živih kalkulatora" jer je u većini slučajeva svoje odgovore mogao da obrazloži i objasni metod (najčešće originalan) koji je primenjivao. Tokom svog života stekao je solidno obrazovanje, ali je zadržao svoju fantastičnu moć računanja napamet.

Bider je rođen 1806. u Moreton Hempstedu (Engleska), gde je njegov otac radio kao kamenorezac. Vrlo rano ispoljio je svoju sposobnost brzog računanja primenjujući neobičan metod grupisanja i predstavljanja brojeva pomoću ka­menčića i dugmadi. Bider je i kasnije u svom životu pridavao veliki značaj konkretnom predstavljanju brojeva preko raznih objekata ili podelom u grupe. Već sa devet godina Bider je stekao solidnu reputaciju i njegov otac je rešio da njegovu sposobnost unovči na turnejama širom Engleske. Za vreme predstave u Edinburgu, profesori sa Edinburškog univerziteta bili su toliko impresioni­rani Biderovim odgovorima, ali i njegovom opštom inteligencijom, da su ubedili njegovog oca da upiše sina na studije. Bider je stekao diplomu građevinskog inženjera i postigao zapažene uspehe u ovoj struci. Umro je 1878. godine.

Sa neprestanim vežbama Biderova moć se stalno razvijala. Posle 1819. go­dine on se, osim osnovnih aritmetičkih operacija, oprobao u nalaženju korena iz velikih brojeva podrazumevajući da je rezultat ceo broj. Evo nekoliko tipičnih pitanja na koje je Bider odgovarao za vreme svojih egzibicionih predstava (pe­riod 1815-1819). Godine 1815., kada je imao devet godina, postavljeno mu je pitanje: Ako je udaljenost Meseca od Zemlje 123 256 milja, i zvuk putuje brzi­nom od 4 milje u minuti, posle kog vremena će hipotetični stanovnik Meseca čuti grmljavinu topova sa bojišta u Vaterlou? Odgovor, 21 dan, 9 sati i 34 minuta, Bider je dao za manje od jednog minuta. Sledeće godine, kada je imao deset godina ali još uvek nije znao da piše brojeve, na pitanje koliki je interes na 11111 funti za 11111 dana ako je kamata 5% godišnje, Bideru je trebao jedan minut da saopšti tačan odgovor 16 911 funti i 11 šilinga. Kvadratni koren broja 119 550 669 121 Bider je našao za 30 sekundi. Sledeće pitanje postavio je čuveni astronom Vilijam Heršel: Pretpostavljajući da svetlost putuje od Sunca do Zemlje 8 minuta, i da je udaljenost Sunca od Zemlje 98000000 milja, odrediti udaljenost najbliže zvezde od Zemlje ako se zna da svetlost putuje do nje 6 godina i 4 meseca. Bider je dao odgovor 40633740000000 milja za dva minuta.

Treba napomenuti da Bider nije pamtio brojeve preko simbola već preko specijalno aranžiranih grupa brojeva. Na primer, broj 984 bio bi razbijen na 24 grupe od kojih je svaka sadržavala po 41 jedinicu. Zapravo, najveći deo vremena pri izračunavanju Bider je trošio za prebacivanje brojeva datih na uobičajen način na oblik "kvantitativne reprezentacije".

Johan Martin Zaharijas Daze je jedan od najpoznatijih čudotvoraca u men­talnoj aritmetici. Rođen je 1824. godine u Hamburgu. Imao je prosečno obra­zovanje ali je koristio svaku priliku da razvija i usavršava svoju sposobnost. Imao je više egzibicionih nastupa u Nemačkoj, Austriji i Engleskoj. Umro je mlad, u 38. godini.

Posle predstave u Beču 1840. godine, poznati matematičar tog doba Straznicki je predložio Dazeu da svoju sposobnost primeni u naučne svrhe, što je on sa zadovoljstvom prihvatio. Ovo mu je kasnije omogućilo da se up­ozna i sarađuje sa Gausom, Šumaherom, Petersenom i Enkeom. Ostalo je malo zapisanih zadataka koje je rešavao Daze. Jedan od njih je Šumaherovo pitanje o proizvodu brojeva 79532853 i 93 758479, na koje je Daze odgovorio za 54 sekundi. Gausovo pitanje odnosilo se na izvlačenje kvadratnog korena iz stocifrenog broja. Daze je našao rešenje za .52 minuta. Kao i svi drugi "živi kalkulatori", i Daze je posedovao izvanrednu memoriju. Čak dva sata posle predstave on je mogao da ponovi sve brojeve sa kojim je prethodno operisao. On je takođe imao poseban dar da posle samo kratkog gledanja na zadane objekte ustanovi njihov broj, raspored ili nešto drugo, na primer sumu tačkica na više domina, broj slova u zadatom redu, ili da trenutno memoriše broj sa deset i više cifara.

 Dazeovo sledeće dostignuće bilo je izračunavanje prirodnih logaritama prvih 1 005 000 brojeva sa 7 decimalnih mesta. Ovaj posao on je završio radeći u svom slobodnom vremenu u periodu od 1844. do 1847. Sledeće dve godine, opet u slobodno vreme, on je sastavio tablice hiberboličkih funkcija koje su publikovane 1857. od strane Austrijske vlade.

Žak Inaudi, rođen 1867. u Onoratu (Italija), takođe je bio fenomen u men­talnoj aritmetici. Kao dečak bio je pastir sve dok nije otkrivena njegova iz­vanredna sposobnost za računanje napamet. Već 1880. on je imao egzibicioni nastup u Parizu, mada u to vreme još nije znao da čita i piše. Neprestanim vežbanjima njegove računarske mogućnosti su stalno rasle. U Lionu 1873. on je mogao da nalazi proizvod trocifrenih brojeva gotovo trenutno. Već sledeće godine on je množio šestocifrene brojeve. U Parizu je bio ispitivan od pozna­tog matematičara Darbua. Za 13 sekundi lnaudi je izračunao koliko sekundi se sadrži u 18 godina, 7 meseci, 21 dan i 3 sata. U moment u je dao odgovor na pitanje koliki je kvadratni karen od šestine razlike kvadrata broja 4 801 i 1. Takođe je nalazio cela rešenja jednostavnijih jednačina metodom probe i greške. Njegov veliki podvig bio je predstavljanje brojeva manjih od 100000 u obliku sume kvadrata četiri prirodna broja.

Za najveći broj "živih kalkulatora" bilo je teško ili nemoguće da objasne svoje metode izračunavanja. Ipak, skoro svaki od njih imao je logične prilaze pri rešavanju izvesnih klasa problema, koje se podudaraju sa uobičajenim metodima koje koriste matematičari. Navešćemo jedan primer iz Biderove prakse gde je trebalo naći kubni koren iz broja 188 132 517 (podrazumevajući da je rezultat ceo broj). Jasno je da je traženi koren trocifreni broj. Kako je 53 = 125 i 63 = 216, prva cifra s leva mora biti 5. Jedini dvocifreni broj čiji se kub završava sa 17 je 73. Na osnovu ovog odgovor je 573. U slučaju viših korena, proces je čak jednostavniji, i u slučaju 5. korena veoma lak, jer je poslednja cifra datog broja uvek jednaka poslednjoj cifri 5. korena. Dakle, ako je zadati broj manji od 1010, traženi koren je dvocifreni broj. Znajući 5.  stepene od 10,20,...,90, potrebno je, da bismo odredili prvu cifru rezultata jedino odrediti između kojih od ovih stepena leži zadati broj i zatim pridodati poslednju cifru (koja je poznata).

Ovoj prikaz o genijalnim ljudima završi ćemo pričom o dvostrukom fenome­nu Aleksanderu Ejtkenu (Alexander Craig Eitken (1895-1965)). On je bio ne samo jedan od najvećih "živih kalkulatora", već i veoma poznat matematičar: autor je četiri knjige i oko 70 radova. Ejtken je rođen 1895. u Dunedinu (Novi Zeland), ali se preselio u Edinburg 1923. Njegova fenomenalna moć brzog računanja napamet bila je jednim delom zasnovana na njegovoj fantastičnoj memoriji. On je mogao da ponavlja duge pasuse iz dela Virgilija ili Mi1tona. Jednom prilikom je istakao da je morao da vodi računa o tome šta čita jer je imao teškoće da to zaboravi dugo posle toga. Ejtken je skoro trenutno izvršavao množenja, deljenja, vađenje kvadratnih i kubnih korena. Jednom je na tabli ("iz glave") napisao 707 decimala broja PI koje je izračunao Šenks 1853. Kada je Ferguson pokazao 1946. godine da postoji greška od 528. decimale pa nadalje, Ejtken je sa lakoćom memorisao aproksimaciju sa 1000 (proverenih) decimala.

.